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68普朗克的辐射理论和比热容理论b量子比热公式68（第3页）

E=（3RβvN）[e（βv）（T）-1]

（注：公式8加入了三个自由度）。

因此，N个（注：即1摩尔）这样的基元结构的能量，用克-卡来计量，具有值：

5。94βv[e（βv）（T）-1]

那么，每一个以这样方式振荡的基元结构对摩尔热容所贡献的值为公式10：

[5。94·e（βv）（T）·（βvT）2][e（βv）（T）-1]2

（注：根据比热容的定义dQdT，将5。94βv[e（βv）（T）-1]

对温度T求导就得出公式10。）

因此，当我们对出现在所考察的固态物质中的所有各类振荡的基元结构进行累加时，就得到摩尔热容的表达式公式10a：

c=5。94∑[e（βv）（T）·（βvT）2][e（βv）（T）-1]2”

公式10a就是这篇论文理论推导部分的最终结论，也是量子论改造后的固体比热容理论公式。

接下来，爱因斯坦就进入了本篇论文探讨的具体问题，固体的比热容问题（单位质量物体改变单位温度时吸收或放出的热量），首先是陈述了当时固体比热容的理论解释，其根基便为有误的公式4（E=[∫E·e-（NE）（RT）dE][∫e-（NE）（RT）dE]=RTN

）：

“关于固体中的热运动，人们可以建立的最简单的图像是：包含于其中的一个个原子在平衡位置附近作正弦振荡。在这个假设之下，应用分子运动论（公式4），并考虑到每个原子要用三个运动自由度来描述，人们得到每摩尔物质的比热容为：c=3R·n；

（注：每摩尔物质的能量为3RT·n，对温度T求导，即为每摩尔物质的比热容c=3R·n。）

或者，用克-卡来表示：c=5。94n，而n表示分子中的原子数。

众所周知，对于取固态聚集状态的大多数元素和许多化合物都是相当接近地满足这一关系式（杜隆-珀蒂定律定律，纽曼-柯普定律）。”

杜隆-珀蒂定律定律是物理学中描述结晶态固体由于晶格振动而具有的比热容的经典定律，由法国化学家皮埃尔·路易·杜隆和阿列克西·泰雷兹·珀蒂于1819年提出，内容为：无论晶体属于何种类型，其比热容均为3RMM，其中R为普适气体常数，MM为摩尔质量。

纽曼-柯普定律由德国化学家赫曼·柯普（1817-1892）在1864年提出：化合物分子热容等于构成此化合物各元素原子热容之和。

介绍了传统比热容理论的成就后，爱因斯坦又指出了传统比热容理论的局限性，爱因斯坦当时发觉的起码两个，一个是有的物质摩尔热容都小于n·5。94，一个是分子的运动质点数大于它的原子数——比热容值必须大大超过5。94·n：

“然而，只要人们稍微更加精确地考察一下事实，就会遇到两个困难，它们似乎显示了分子论适用的狭窄界限。

1。有一些元素（碳、硼和硅），它们在常温时为固态，它们具有的原子比热容显著地小于5。94。此外，所有其中有氧、氢或者至少有一个上述元素出现的固态化合物，其摩尔热容都小于n·5。94。

2。德鲁德先生（注：此前小人物爱因斯坦曾经与其举行理论论战）曾经指出：光学现象（色散），导致必须把化合物中每个原子描述为某种程度上互不相关的运动的基元质点。同时他还得出这样的结论：

红外线的本征频率来源于原子（原子离子）的振荡。紫外线的本征频率来源于电子的振荡。这里热的分子运动论产生了第二个严重的困难——既然每个分子的运动质点数大于它的原子数——比热容值必须大大超过5。94·n。（注：即分子除了包含原子，还包含电子等运动质点，而原子的比热容为5。94·n，则加上电子等运动对比热容的贡献，则分子的比热容应该大于原子比热容为的5。94·n。）”

为了解决上述传统比热容理论的局限性，爱因斯坦将普朗克公式引入的量子论引入了比热容领域，以公式8（E=（RβvN）[e（βv）（T）-1]

）代替公式4，则得到了量子化的固体比热容公式：

“如上所述，这里应当注意到下面一点。如果我们把固体中热的载体设想为周期振荡的结构，它的频率同它的振动能量无关，那么按照普朗克辐射理论，我们就不应当期望比热容总具有值5。94·n。相反，我们必须采用公式8：

E=（3RβvN）[e（βv）（T）-1]

（注：公式8加入了三个自由度）。

因此，N个（注：即1摩尔）这样的基元结构的能量，用克-卡来计量，具有值：

5。94βv[e（βv）（T）-1]

那么，每一个以这样方式振荡的基元结构对摩尔热容所贡献的值为公式10：

[5。94·e（βv）（T）·（βvT）2][e（βv）（T）-1]2

（注：根据比热容的定义dQdT，将5。94βv[e（βv）（T）-1]

对温度T求导就得出公式10。）

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